CUENTOS CON PROBLEMAS A RESOLVER

María y sus amigos

-      Nerea Romero, Eva Hidalgo, Julia Barba, Gemma Abarca.

María ha terminado todos los deberes que la maestra ha mandado hoy. Después de merendar un rico bocadillo de jamón serrano ha pedido a su mamá ir al parque. Sin embargo, hasta que no viniese su hermano Miguel de baloncesto, no podrían ir los 3 juntos. 

Una vez vino Miguel, María fue con su hermano y su madre al parque. Por el camino se encontraron al padre de Violeta y a Violeta. Ellas también iban al parque. Una vez llegaron al parque estaban en el arenero Carlos, Sara y Lorena. En el tobogán Patricia, y cada uno venía con sus respectivos madres y padres. ¿Cuántas personas conocía María?

Érase una vez un problema 

-       Carolina Ocaña Castillo

Había una vez, en un lugar remoto detrás de una montaña, un pueblecito que era conocido como el lugar más culto del planeta. Esto era, quizás, por sus dos grandes ``Centros del Conocimiento ́ ́ y ``El Mundo de las Letras y El Universo de los Números ́ ́. 

Pero todo lugar tiene sus ventajas y sus inconvenientes. Estos dos ``Centros del Conocimiento ́ ́ siempre estaban discutiendo sobre cual de ellos impartía más cultura y, por tanto, era el mejor. Cada trimestre se celebraban competiciones para ver cuál había enseñado mejor: el centro cuyos alumnos hubiesen sacado mejores notas era el ganador. 

Un día llegó a ese pueblo un señor llamado Aristoquímedes, que tenía un gran problema. Había oído hablar de sus dos grandes escuelas y pensaba que en una de ellas encontraría su respuesta. 

Primero fue a preguntar a ``El Universo de los Números ́ ́. 

• -  Hola, me llamo Aristoquímedes y he oído hablar muy bien de este pueblo. Me dijeron 

que aquí podría hallar cualquier respuesta... 

• -  Sí, así es. Los números son capaces de todo y esta es su casa así que usted dirá. 
• -  Verá...resulta que soy el encargado de suministrar y llevar los cálculos del agua en mi 

edificio. El otro día tenía que hacer un recado muy urgente y le pedí a uno de mis criados que se encargase de los cálculos en mi lugar. Cuando volví me dijo que al principio se gastó la mitad del agua, y que 2 horas más tarde se había usado 1/5 de lo que quedaba. En el depósito quedaban 600 litros pero necesito saber cuánto había al principio... 

• -  Eh...pues...esto es muy fácil...sólo hay que... no, hay que... ¿le importaría esperar un momento? Iré a preguntar al jefe. 
• -  Claro. 
• -  Lo siento no se cómo es posible pero no existe ninguna solución matemática que 

resuelva su problema...Lamento decirle que tendrá que ir a El Mundo de las Letras a 

ver si allí saben que hacer... 

• -  Está bien. Muchas gracias. 

Se dirigió al edificio de al lado, su próximo destino. Una vez dentro se dirigió al mostrador y le dijo al responsable: 

• -  Hola, me llamo Aristoquímedes y he oído hablar muy bien de este pueblo. Me dijeron que aquí podría hallar cualquier respuesta...aunque no tuviese mucho que ver con la literatura. 
• -  ¡Claro que sí! Verá la lengua está relacionada con todo en esta vida y a través de ella y con un poco de lógica podemos responderle a cualquier cosa. 
• -  Bien pues verá, es que en mi edificio yo me encargo de suministrar el agua y llevar todos los gastos. El problema es que el otro día tuve que hacer un recado muy urgente que me requeriría todo el día. Entonces dejé a mi criado a cargo del agua. Cuando terminé y volvía a casa el criado me dijo que primero utilizaron la mitad del depósito y que poco después se gastó 1/5 de lo que quedaba. Miré en el depósito y aún habían 600 litros de agua. Pero para hacer las facturas necesito saber qué cantidad de agua había al principio. Sé que esto es un problema más bien matemático pero acabo de ir al otro edificio y no han sabido resolverlo... 
• -  Eso es obvio. No se preocupe: como ya le dije antes con un poco de lógica las letras pueden hacer milagros. Verá: si al principio se gastó eso y luego esto y quedan tantos pues yo diría que al principio había... que había...me sorprende que vaya a decir esto pero... ¡no sé lo que había! 
• -  No me diga que he venido hasta aquí para nada... 
• -  Lo siento, pero no podemos hacer nada por usted. 
• -  Bueno, sí hay algo que puedan hacer...pero no les va a gustar. 
• -  ¡Por favor! Cualquier cosa por el saber. 
• -  Si ustedes no saben resolver mi problema y los números tampoco tal vez si uniesen sus 

conocimientos podrían... 

• -  ¡No siga! Eso que dice es una locura. Nunca y digo nunca haríamos tal cosa. 
• -  Entonces significa que no harían cualquier por el saber... 
• -  No es eso. El problema son los de la escuela de matemáticas. Ellos nunca accederían, no 

son buenos profesionales como nosotros. 

• -  Muy bien si ustedes están dispuestos iré a preguntárselo a ellos. Gracias y hasta luego. 

Aristoquímedes se dirigió de nuevo a ``El Universo de los Números ́ ́. Allí se dirigió directamente al presidente y le dijo: 

• -  Hola de nuevo. Quería proponerle una cosa. 
• -  Dígame, ¿de qué se trata? 
• -  Bueno como antes no supieron resolver mi problema pues he encontrado una solución. 
• -  ¡¿De verdad?! ¿Y cuál es? 

• -  Pues verá he estado pensando que tal ve si su organización se uniese a la de las letras pues tal vez resolverían mi problema. 
• -  No, no y no. Y no es que nosotros no queramos ayudarle sino que la otra organización nunca accedería y... 
• -  Y a lo ha hecho. 
• -  Y... ¿qué? Bueno pues siendo así...nosotros no vamos a ser menos. Le ayudaremos 

accediendo a lo que nos pide. 

• -  Genial. Nos veremos mañana a las seis de la tarde en la biblioteca. 

Aristoquímedes fue a avisar del encuentro a la otra organización. Al día siguiente llegada la hora los dos centros se reunieron uno frente a otro. Se pusieron a discutir sobre cuál había sido más puntual. Aristoquímedes les separó y empezó a decirles:
- bien, os recuerdo que hemos venido aquí para encontrar un modo de resolver mi problema. Tenéis todos los materiales que vayáis a necesitar. Hemos encontrado un método para que no os peleéis: 

Al primero que discuta se le restarán puntos de honor que se le irán sumando al otro centro. Ahora solo me queda deciros que buena suerte y a trabajar. 

Tardaron varios días en encontrar métodos pero ninguno resultaba exacto. Pero un buen día, todos gritaron a la vez: 

- - - 

¡¡ÁLGEBRA!!
¿Qué?- preguntó Aristoquímedes ÁLGEBRA
Algunos números primos
Los signos son importantes
Gran cantidad de letras
Ecuaciones que
Buscan soluciones
Raras de entender y por eso
A las letras has de atender
¡Ah!... ¿y eso como me va a ayudar? 

-
- Verás, dentro de esto que hemos llamado álgebra hay unas operaciones que combinan letras y números a las que denominamos ecuaciones. Así que según la fórmula en tu depósito habría al principio... ¡1500 litros!
- ¡Genial! Lo habéis conseguido y todo porque habéis trabajado juntos. 

- Sí, y todo gracias a ti. Te condecoraremos con el título de Padre del Álgebra. Con nuestras imprentas y la rapidez matemática de la otra escuela publicaremos libros para enviarlos al resto del mundo. 

Pasaron muchos años hasta que el álgebra se distribuyó por todo el planeta. Actualmente hay muchas operaciones creadas a partir del álgebra. 

Cuento los panes regleta. 

-       Enseñanza de las Matemáticas a través de los Cuentos. 

Hace muchos, muchos años, cuando había enormes árboles cuyas cúpulas no dejaban ver el intenso cielo azul, y cuando los arroyos fluían libremente entre monumentales montañas, existía un pequeño país oculto entre la espesura del bosque. En él reinaba un joven y bondadoso rey, al que desde muy pequeño le gustaba el pan. Tanta hambre tenía de pan, que el panadero se pasaba el día entero haciéndole panecillos en su horno. Como éste sólo tenía la regleta blanca para medir la longitud del pan, decidió ir al País de las Regletas a buscar otras más grandes. Tras dos días de viaje, el panadero llegó al fabuloso y misterioso País de las regletas, donde las casas tenían forma de regleta, siendo unas más altas y otras más bajas, según cual de ellas hubiese sido utilizada. Así, había casas blancas de un piso, rojas de 2 pisos, verdes de tres, rosas de cuatro, amarillas de cinco, verde oscura de seis, negras de siete, marrones de ocho, azul de nueve y por último, las más altas, naranjas de diez pisos. El panadero llamó a una puerta en la cual ponía: "Pancracia, Especialista en panes-regleta". Esta se abrió y apareció una mujercilla regordeta, con las mejillas sonrosadas manchadas de fina harina blanca, quien le dijo: 

- Buenos días, ¿desea alguna cosa? 

- Sí, -dijo tímidamente- soy Panreal, el panadero del reino vecino y quería que me ayudases. 

- Pasa, pasa, que tengo los "panes-regleta" en el horno y se van a quemar, - le pidió. Una vez dentro, Panreal le explicó su problema y le pidió ayuda. Ella le dijo que era muy fácil la solución pues simplemente necesitaba añadirle a la unidad, una más cada vez, logrando así panes tan largos como su rey quisiese. Después de hacerse con una caja de regletas, nuestro panadero regresó feliz y contento a su país. Una vez allí, Panreal expuso al Rey su hallazgo, y éste le pidió que cada día elaborase un pan que fuese una unidad mayor que el del día anterior. Así que, el primer día hizo un pan igual de largo que la regleta blanca, el segundo día uno igual que la regleta roja, al tercer día uno igual a la regleta verde, y así hasta hacer un pan igual de largo que la regleta naranja. Al ver el rey que dicho pan era tan largo, invitó a todos los ciudadanos de su país a merendar pan con chocolate. Desde entonces Panreal se hizo famoso en su país por hacer los más sabrosos, ricos y variados “panes-regletas” del mundo mundial. 

Cuento las torres de unidades. 

-       Enseñanza de las Matemáticas a través de los Cuentos. 

En el pueblo de Pan Regletas la vida transcurría con normalidad desde que 1 decena se había nombrado rey de las regletas. Las decenas se sentían superiores porque sabían que su valor era superior al de las unidades, y las unidades aceptaban esa situación sin protestar. 

¿Todas? No. Había un grupo de unidades que tenía un plan para acabar con esta situación: si el valor de las unidades era menor que el de las decenas, tan sólo tenían que juntarse de dos en dos o de tres en tres. Comenzaron a hacer torres de regletas, pero la regleta de abajo no estaba suficientemente fuerte para aguantar el peso y las torres siempre se caían, así que decidieron pesarse para conocer qué regleta pesaba más y cual menos.
(Coger regletas al azar y que digan su peso) 

Decidieron que sería mejor que las regletas que pesaban más estuvieran abajo. 

(Comparar regletas para ver cual pesa más, primero de dos en dos y luego de tres en tres, trabajamos al mismo tiempo número mayor y menor). 

Una vez que las torres estaban formadas era necesario conocer su valor. Para ello establecieron un método; primero sumarían las dos regletas de arriba y el resultado se lo sumarían a la regleta de abajo. De esta forma fueron aumentando su valor y haciéndose poco a poco más fuertes. Sabían que todavía les faltaba mucho pero cada vez estaban más preparadas para poderse enfrentar a las decenas, y ese día no tardaría en llegar.... 

El cuento de la cuenta 

-      Carlo Frabetti. Publicado en el libro "Malditas Matemáticas". Alfaguara juvenil.

—Había una vez, hace mucho tiempo, un pastor que solamente tenía una oveja — empezó el hombre—. Como sólo tenía una, no necesitaba contarla: si la veía, es que la oveja estaba allí; si no la veía, es que no estaba, y entonces iba a buscarla... Al cabo de un tiempo, el pastor consiguió otra oveja. La cosa ya era más complicada, pues unas veces las veía a ambas, otras veces sólo veía una, y otras ninguna...
—Ya sé cómo sigue la historia —lo interrumpió Alicia—. Luego el pastor tuvo tres ovejas, luego cuatro..., y si seguimos contando más ovejas me quedaré dormida. —No seas impaciente, que ahora viene lo bueno. Efectivamente, el rebaño del pastor iba creciendo poco a poco, y cada vez le costaba más comprobar, de un solo golpe de vista, si estaban todas las ovejas o faltaba alguna. Pero cuando tuvo diez ovejas hizo un descubrimiento sensacional: si levantaba un dedo por cada oveja y no faltaba ninguna, tenía que levantar todos los dedos de las dos manos.
—Vaya tontería de descubrimiento —comentó Alicia.
—A ti te parece una tontería porque te enseñaron a contar de pequeña, pero al pastor nadie le había enseñado. Y no me interrumpas... Mientras el pastor sólo tuvo diez ovejas, todo fue bien; pero pronto consiguió algunas más, y entonces ya no le bastaban los dedos.
—Podía usar los dedos de los pies.
—Si hubiera ido descalzo, tal vez —convino él—. De hecho, algunas culturas antiguas los usaban, y por eso contaban de veinte en veinte en vez de hacerlo de diez en diez como nosotros. Pero el pastor llevaba alpargatas, y habría sido muy incómodo tener que descalzarse para contar. De modo que se le ocurrió una idea mejor: cuando se le acababan los diez dedos, metía una piedrecita en su cuenco de madera, y volvía a empezar a contar con los dedos a partir de uno, pero sabiendo que la piedra del cuenco valía por diez.
— ¿Y no era más fácil acordarse de que ya había usado los dedos una vez?
—Como dice el proverbio, sólo los tontos se fían de su memoria. Además, ten en cuenta que nuestro pastor sabía que su rebaño iba a seguir creciendo, por lo que

necesitaba un sistema que sirviera para contar cualquier cantidad de ovejas. Por otra parte, la idea de las piedras le vino muy bien para descansar las manos, pues en vez de levantar los dedos para la primera decena de ovejas, empezó a usar piedras que metía en otro cuenco, esta vez de barro.
— ¡Qué lío!
—Ningún lío. Es más fácil de hacer que de explicar: al empezar a contar las ovejas, en vez de levantar dedos iba metiendo piedras en el cuenco de barro, y cuando llegaba a diez vaciaba el cuenco y metía una piedra en el cuenco de madera, y luego volvía a llenar el cuenco de barro hasta diez. Si al final tenía, por ejemplo, cuatro piedras en el cuenco de madera y tres en el de barro, sabía que había contado cuatro veces diez ovejas más tres, o sea, cuarenta y tres.
— ¿Y cuando llegó a tener diez piedras en el cuenco de madera?
—Buena pregunta. Entonces echó mano de un tercer cuenco, de metal, metió en él una piedra que valía por las diez del cuenco de madera y vació éste. O sea, que la piedra del cuenco de metal valía por diez del cuenco de madera, que a su vez valían cada una por diez piedras del cuenco de barro.
—Lo que quiere decir que la piedra del cuenco de metal representaba cien ovejas. —Muy bien, veo que has captado la idea. Si al cabo de una jornada de pastoreo, tras meter las ovejas en el redil y contarlas una a una, el pastor se encontraba, por ejemplo, con esto —dijo el hombre, tomando de nuevo el bolígrafo y dibujando en el cuaderno de Alicia:
—Quiere decir que tenía doscientas catorce ovejas —concluyó ella.
—Exacto, ya que cada piedra del cuenco de metal vale por cien, la del cuenco de madera vale por diez y las del cuenco de barro valen por una.

Pero entonces al pastor le regalaron un bloc y un lápiz...
—No puede ser —protestó Alicia—, el bloc y el lápiz son inventos recientes; los números se tuvieron que inventar mucho antes.
—Esto es un cuento, marisabidilla, y en los cuentos pueden pasar cosas inverosímiles. Si te hubiera dicho que entonces apareció un hada con su varita mágica, no habrías protestado; pero mira cómo te pones por un simple bloc...
—No es lo mismo: en los cuentos pueden aparecer hadas, pero no aviones ni cosas modernas.
—Está bien, está bien: si lo prefieres, le regalaron una tablilla de arcilla y un punzón. Y entonces, en vez de usar cuencos y piedras de verdad, empezó a dibujar en la tablilla unos círculos que representaban los cuencos y a hacer marcas en su interior, como acabo de hacer yo en tu cuaderno. Sólo que, en vez de puntos, hacía rayas, para verlas mejor. Por ejemplo, la figura siguiente significaba ciento setenta y tres.
Pero pronto se dio cuenta de que las rayas, si las hacía todas verticales, no eran muy cómodas, pues no resultaba fácil distinguir, por ejemplo, siete de ocho u ocho de nueve. Entonces empezó a diversificar los números cambiando la disposición de las rayas:

Pero pronto se dio cuenta de que las rayas, si las hacía todas verticales, no eran muy cómodas, pues no resultaba fácil distinguir, por ejemplo, siete de ocho u ocho de nueve. Entonces empezó a diversificar los números cambiando la disposición de las rayas:

A medida que iba familiarizándose con los nuevos números, los escribía cada vez más deprisa, sin levantar el lápiz del papel (perdón, el punzón de la tablilla), y empezaron a salirle así:

»Poco a poco fue redondeando las siluetas de sus números con trazos cada vez más fluidos, hasta que acabaron teniendo este aspecto:

1 23456789

»Pronto comprendió que no hacía falta poner los círculos que representaban los cuencos, ahora que los números eran compactos y no podían confundirse las rayas de uno con las del de al lado. Así que sólo dejó el círculo del cuenco cuando estaba vacío; por ejemplo, si tenía tres centenas, ninguna decena y ocho unidades, escribía:

— ¿Y no es más fácil dejar sencillamente un espacio en blanco? —preguntó Alicia. —No, porque el espacio en blanco sólo se ve si tiene un número a cada lado. Pero para escribir treinta, por ejemplo, que son tres decenas y ninguna unidad, no puedes escribir sólo 3, porque eso es tres. Por tanto, era necesario el círculo vacío.

El pastor acabó reduciéndolo para que fuera del mismo tamaño que los demás signos, con lo que el trescientos ocho del ejemplo anterior acabó teniendo este aspecto:

308

»Había inventado el cero, con lo que nuestro maravilloso sistema de numeración estaba completo.»
—No veo por qué es tan maravilloso —replicó Alicia—. A mí me parecen más elegantes los números romanos.
—Tal vez sean elegantes, pero resultan poco prácticos. Intenta multiplicar veintitrés por dieciséis en números romanos.
—No pienso intentarlo. ¿Te crees que me sé la tabla de multiplicar en latín?
—Pues escribe en números romanos tres mil trescientos treinta y tres.
—Eso sí que sé hacerlo —dijo Alicia, y escribió en su cuaderno:

MMMCCCXXXIII

—Reconocerás que es más cómodo escribir 3.333 en nuestro sistema posicional decimal.
—Sí, lo reconozco —admitió ella a regañadientes—. ¿Pero por qué lo llamas sistema posicional decimal?
—En el sistema romano, todas las M valen lo mismo, y también las demás letras, mientras que en nuestro sistema el valor de cada dígito depende de su posición en el número. Así, en el 3.333, cada 3 tiene un valor distinto: el primero de la derecha representa tres unidades, el segundo tres decenas, el tercero tres centenas y el cuarto tres millares. Por eso nuestro sistema se llama posicional. Y se llama decimal

porque se salta de una posición a la siguiente de diez en diez: diez unidades son una decena, diez decenas una centena, diez centenas un millar...

Solos en el cole 

-      Eva María Rodríguez

Había una vez un grupo de niños de tercero de primaria a los que no les gustaban mucho las matemáticas. Decían que las mates no valían para nada, que eran un rollo y que preferían estar castigados que perder el tiempo con esa asignatura.

A este grupo de niños tampoco les gustaba nada la clase de lengua, ni la de inglés, ni la de ciencias. Con el resto hacían una excepción, siempre y cuando no tuvieran que trabajar mucho.

Un día, cuando los niños llegaron a clase, descubrieron que no había nadie para dar clase. Tocaba clase de matemáticas, como todas las mañanas a primera hora.

Los niños estaban tan contentos. Pero pasaban las horas y por allí no iba nadie. No fue el profesor de lengua, ni el ciencias, ni tampoco el de educación física.

Cansados de esperar, a Kilian, el más mayor de la clase, se le ocurrió ir a preguntar qué pasaba.

Kilian salió de la clase y puso rumbo al despacho del director. Pero allí tampoco había nadie. Buscó por todo el colegio. Pero en ninguna clase había nadie. ¡El colegio estaba vacío!

Kilian volvió al aula y contó a sus compañeros lo que había descubierto.

-¿Estamos solos en el colegio? -preguntó una niña.

-Sí. Y no podemos irnos, porque las puertas están cerradas -dijo Kilian.

-¡El colegio es nuestro! -gritaron los más gamberros de la clase, con malas intenciones.

-Deberíamos investigar a ver qué ha pasado y resolver este misterio -propuso Kilian.

A todos les pareció bien.

-Nos dividiremos en grupos y exploraremos el colegio -dijo Kilian-. Nos vemos aquí en media hora.

Al cabo de media hora todos volvieron a clase. Solamente un grupo había encontrado una pista.

-Hemos encontrado este papel en la mesa del profesor de la clase de quinto -dijo uno de los niños-. Aquí dice que hay una excursión para ir a la inauguración del museo de ciencias del universo. Parece que hay una casilla por cada curso, para seleccionar al que pertenece cada uno y firmar la autorización.

-Y eso, ¿cuándo es? -preguntó Kilian.

En ese momento el director entró por la puerta.

-Hoy mismo. Os habéis perdido un evento extraordinario. Pero, ¿qué hacéis aquí?

-Vinimos a clase, como todos los días -dijo Kilian-. Nadie nos informó sobre la excursión.

-Tal vez si estuviérais más atentos os enteraríais de las cosas. La profesora os dio las hojas.

-Debió de ser el día que hicimos aviones de papel y los tiramos por la ventana -dijo Kilian.

Desde ese día los niños empezaron a poner un poco más de interés. Para su sorpresa descubrieron que lo que aprendían en el cole servía para muchas cosas y que, poniendo interés y portándose bien, las clases incluso pueden ser divertidas.

Ir a la compra

-      Nerea Romero, Eva Hidalgo, Julia Barba, Gemma Abarca.

Samuel le pide a su hijo, Jorge que compre un bote de mermelada, pan, aceite y sal para poder hacer un rico desayuno por el día de la madre a su esposa y madre de Jorge. 

Samuel le proporciona 15 euros para que pueda comprar todo. 

Cuando Jorge llega al supermercado ve un bote de mermelada por 4,65 euros. El pan cuesta 70 céntimos y el aceite 3,50 euros. Pero Jorge no está seguro de si puede pagar todo con 15 euros, ¿vosotros qué pensáis?

Efectivamente, si se puede ya que la suma de el bote de mermelada, más el pan, más el aceite son 8,85 euros. 

Durante el camino a casa Jorge se da cuenta de que se había olvidado de la sal. Por lo tanto, vuelve al supermercado. Ve que la sal le cuesta 4,50 euros. ¿Puede comprar el producto de la sal con lo que le queda de dinero?

Por supuesto, restamos 15 euros que tenía en un principio menos 8,85. Nos quedan 6,15 euros. Si la sal cuesta 4, 50 euros. Jorge puede comprarlo, pero ¿cuánto dinero le devuelve a su padre?

Restamos 6,15 menos 4,50 y finalmente, lleva a su padre 1,65 euros. Felizmente puede hacer un desayuno genial para estar en familia el día de la madre. 

¡Qué rico!

-      Nerea Romero, Eva Hidalgo, Julia Barba, Gemma Abarca.

Hoy es el cumpleaños (nombre de alumno/a en la clase que cumpla años). Sus padres han hecho una tarta de limón, una de fresa y una de chocolate. 

Para hacer la tarta de limón ha usado 3 huevos, 1/5 de limón, 3/5 de harina más que la tarta de chocolate y ½ litros de agua. 

La tarta de fresa contiene el doble de huevos que la tarta de limón, la misma cantidad de agua y la mitad de harina que la tarta de chocolate. Además, contiene 5 fresas. 

La tarta de chocolate, contiene dos tabletas de chocolate enteras en las que cada tableta son 200 gramos. El triple de huevos que la tarta de limón, 300 gramos de harina y ½ más que la tarta de limón. 

¿Cuánta cantidad hay de cada ingrediente?

Somos 20 alumnos en clase. De estos, 5 alumnos querrán solo parte de la tarta de limón. Ocho alumnos querrán tarta de chocolate y 7 tarta de fresa. 

¿Cuál serán las fracciones irreducibles del reparto de las tartas en clase?