PAPIROFLEXIA

BREVE ORIGEN

El arte de doblar papel se originó en China alrededor del siglo I o II d. C. Llegó a Japón en el s. VI y se integró en la tradición japonesa. 

En el periodo Heian, desde 794 hasta 1185, el origami formó parte importante en las ceremonias de la nobleza, pues doblar papel era un lujo que solo podían darse personas de posición económica acomodada.

RELACIÓN DE LA PAPIROFLEXIA CON LAS MATEMÁTICAS

La mejor manera de darse cuenta de la relación entre las matemáticas y la papiroflexia es desplegar un modelo y observar el cuadrado inicial: aparece ante nuestros ojos un complejo de cicatrices que cumple unas ciertas propiedades. Intuitivamente, hay unas “matemáticas del origami” funcionando cuando plegamos un modelo. 

Procedemos a señalar tres aspectos fundamentales en los cuales las matemáticas afloran en la papiroflexia:

1. Papiroflexia modular: representación de poliedros y figuras geométricas.
2. Axiomas de constructibilidad: teoría de puntos constructibles con Origami, paralela a la existente con regla y compás.
3. Diseño de figuras: métodos matemáticos para la creación papirofléctica.

¿Qué ventaja tiene la papiroflexia en las matemáticas?

1.-Comprender y utilizar el lenguaje geométrico y su representación matemática, adecuada para describir formas, clasificarlas y esquematizarlas.

2.-Diseñar y manipular modelos materiales que favorezcan la comprensión y la resolución de problemas valorando la interrelación que hay entre la actividad manual y la intelectual.

3.-Reconocer formas y realizar medidas en el plano y en el espacio, formulando y

contrastando conjeturas sobre propiedades geométricas y desarrollando la intuición espacial.

4.-Hacer uso de los sistemas de proporcionalidad para las de construcciones de formas, creando y diseñando modelos geométricos.

5.-Es un ejemplo de “aprendizaje esquemático“. Para lograr el éxito, el alumno debe observar cuidadosamente, escuchar atentamente e interpretar unos diagramas con las instrucciones específicas que luego llevará a la práctica.

6.-La Papiroflexia fomenta en el alumno habilidades tan evidentes como el desarrollo de la habilidad manual, de la concepción volumétrica, de la coordinación de movimientos y de la psicomotricidad fina. Además fomenta el espíritu creativo, enseña al alumno a seguir instrucciones y ayuda a desarrollar la sociabilidad y el trabajo en equipo.

7.- Dentro del campo de las matemáticas, ayuda al uso y comprensión de conceptos geométricos tales como diagonal, mediana, vértice, bisectriz, etc. y a la visualización de cuerpos geométricos. El proceso de creación y ejecución de una figura de papiroflexia fomenta la agilidad mental y desarrolla estrategias para enfrentarse y para resolver problemas de lógica o matemática.

ACTIVIDADES: CREANDO FORMAS GEOMÉTRICAS

1.- Cuadrado

Partimos de una tira de papel cuyo extremo sea recto y perpendicular al lado. Si no fuese así, en cualquier lugar de la tira doblaríamos haciendo coincidir un trozo de un lado sobre sí mismo y resultaría un doblez de las características pedidas.

Para obtener un cuadrado basta doblar la cinta por un extremo, de forma que partiendo desde un vértice se lleva el otro vértice sobre el lado opuesto. En el lugar donde descansa el vértice que se desplaza, se realiza un pliegue perpendicular al lado y ya tenemos un cuadrado.

Lo único que hemos hecho ha sido aplicar las propiedades del cuadrado, que es un polígono con los ángulos de 90º y los cuatro lados iguales.

2.- Triángulo equilátero

Torcemos un extremo de la tira por encima del lado, como si hiciéramos un cucurucho de papel, y aplanamos ese cono de modo que uno de los lados del triángulo coincida con el filo de la tira de papel.

Dado que los lados coinciden, el vértice superior está dividiendo el ángulo de 180º (correspondiente al lado que se ha girado) en tres partes iguales, por lo que obtenemos un ángulo de 60º. Se puede comprobar fácilmente que los restantes ángulos también lo son, luego el triángulo es equilátero.

3.- Pentágono

Para hacer un pentágono regular lo que debemos hacer es un nudo con el papel, de forma que si tiramos con cuidado de las puntas del lazo haciendo que coincidan los pliegues podemos observar el pentágono regular. La primera vez que se hace cuesta conseguir que los pliegues formen exactamente los lados del polígono, pues es fácil que la tira no coincida con alguna de las vueltas. Lo mismo ocurre al principio con el triángulo, pero con un poco de práctica sale perfecto.

A diferencia de los casos anteriores, en el pentágono en necesario tener en cuenta la longitud de la cinta, pues si es corta no puede realizarse bien el nudo. Nuestro consejo es que la longitud sea unas ocho veces (como mínimo unas siete) la anchura de la cinta, para que así se pueda manipular bien.

4.- Hexágono

El hexágono se obtiene fácilmente del triángulo anterior. Para ello es suficiente dividir la tira de papel en dos partes mediante un pliegue longitudinal. En la tira se apreciarán los dobleces correspondientes al triángulo (unos estarán por un lado y el resto por el otro). Si remarcamos todos esos pliegues, al desdoblar la tira podremos observar fácilmente las líneas que definen el hexágono.

CONCEPTOS DE TRIGONOMETRÍA

La Trigonometría es literalmente el estudio de las relaciones que existen entre todas las medidas (de lados y ángulos) de un triángulo. 

Originalmente la trigonometría se utilizaba para definir las relaciones entre los elementos básicos de un triángulo: los  seis elementos principales, es decir, los 3 lados y los 3 ángulos.
Esto es así debido a que no cualesquiera tres segmentos pueden servir y ejercer la función de los lados de un triángulo, estos deben cumplir una cierta relación para que el triángulo “cierre”.
Por otra parte, no cualquieras tres ángulos pueden ser los ángulos de un triángulo: los tres ángulos de un triángulo suman un ángulo llano, es decir 180º.

Su estudio es muy interesante y divertido siempre y cuando se aprenda paso a paso cada relación de la trigonometría. Pero en realidad, su mayor importancia resulta en que se trata de un recurso que facilita y posibilita la resolución de una gran cantidad de situaciones y problemas cotidianos.

Por ello, en muchas profesiones termina siendo una herramienta muy importante en todo lo relacionado con aplicaciones basadas en Geometría y distancias.

Podemos destacar geólogos, astrónomos, físicos, jardineros, carpinteros y otras profesiones entre otras en las que podemos hacer uso de la trigonometría.

 En cuanto al estudio de la trigonometría, esta se divide en dos enfoques muy diferentes:

1. El estudio de las figuras en el plano, esto es las que comúnmente llamamos  bidimensionales (dos dimensiones = plano). Esta es la rama llamada: trigonometría plana.
2. El estudio de las figuras que forman parte de la superficie de una esférica. Esta es la rama llamada: trigonometría esférica.

Nuestro enfoque en la trigonometría a modo de investigación, lo vamos a dividir en dos bloques: Trigonometría 1(medidas, ángulos), y Trigonometría 2(teoremas,senos, cosenos, resolución de triángulos).

Trigonometría 1:

En cuanto a sus conceptos básicos podemos encontrar los siguientes:

•  Punto: El punto no se define. Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que
• carece de dimensión. Se suelen designar por letras mayúsculas (Punto A).
•  Línea: Conjunto de Puntos. o Línea Recta: Por dos puntos pasa una recta y solamente una. Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común. Se suele designar por dos de sus puntos con el símbolo __ encima (AB). Una línea tiene una sola dimensión: longitud.
•  Cuerpos Geométricos: Tienen tres (3) dimensiones: largo, ancho y alto.  
• Superficies: Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea. Tienen dos (2) dimensiones: largo y ancho. 

•  Plano: Es un conjunto parcial de infinitos puntos. Se representa por un paralelogramo y se nombra por tres de sus puntos no alineados o por una letra griega. (ABC o α). Si una recta tiene dos) puntos comunes con un plano, toda la recta está contenida en el plano. Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno.  

• Poligonales: también se llaman así a las líneas quebradas.  Sus segmentos reciben el nombre de lados y los puntos comunes de los lados se llaman vértices.                                  

• Ángulo: es la abertura formada por dos semirrectas (lados) con un mismo origen (llamado vértice).
• Bisectriz de un Ángulo: semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales.

En cuanto a la clasificación de triángulos lo podemos clasificar de la siguiente manera.

 Por sus lados: 

1. Isósceles: tiene dos lados iguales (y dos ángulos) 
2. Equilátero: tiene sus tres lados iguales (los tres ángulos también son iguales). 
3. Escaleno: tiene sus tres lados diferentes. (los tres ángulos también son diferentes). 

Por sus ángulos (la suma de los tres ángulos = 180°): 

1. Acutángulo: tiene los tres ángulos agudos ( <90°) 
2. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (> 90°) 
3. Rectángulo: Tiene un ángulo recto (45°).  Los catetos son los lados que forman el ángulo recto, y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.

Y su vez, en el triángulo, podemos encontrar las siguientes rectas:

Mediana: segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Un triángulo tiene tres (3) medianas, correspondiendo una por cada lado. (m)  El punto de intersección de las medianas se llama baricentro (G). 

Altura: perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto o a su prolongación (h).  El punto de intersección de las alturas se llama ortocentro (O). 

Bisectriz: recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. El punto de intersección de las bisectrices se llama incentro (I). o

Mediatriz: perpendicular en el punto medio de cada lado. (M).  El punto de intersección de las mediatrices se llama circuncentro (K).

Trigonometría 2:

Tanto en la trigonometría como en la geometría debemos destacar el Teorema de Pitágoras, el cual afirma que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual  a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.(a2= b2 + c2).

Este ámbito se centra en los triángulos rectángulos. Por ello, a la hora de resolver problemas matemáticos, nos servirá de gran ayuda, identificar primero sus diferentes lados, así como: hipotenusa, adyacente y opuesto).

                                           

En cuanto a las funciones más importantes de la trigonometría, destacamos: seno, coseno y tangente.
Cada una de ellas, es la longitud de un lado, dividida entre la longitud de otro, es decir:

Función seno:	sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Función coseno:	cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
Función tangente:	tan(θ) = Opuesto / Adyacente

¡Os adjuntamos unos videos que os resolverán todas las dudas y explican todo más aún al detalle!.

SENO, COSENO, Y TANGENTE

TEOREMA DE TALES

TEOREMA DE PITÁGORAS

GEOMETRÍA

A continuación, os proponemos una actividad bastante divertida, manipulativa y, sobre todo, creativa para los niños, donde podrán desarrollar su imaginación a partir de sus conocimientos previos sobre la Geometría. Como siempre, incluiremos primero la parte legislativa y después la actividad propuesta.

Contenidos:

• La situación en el plano y en el espacio.
• Ángulos en distintas posiciones.
• Sistema de coordenadas cartesianas.
• Descripción de posiciones y movimientos.
• La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.
• Formas planas y espaciales.
• Clasificación de triángulos atendiendo a sus lados.
• Concavidad y convexidad de figuras planas.
• Identificación y denominación de polígonos atendiendo a su número de lados.
• La circunferencia y el círculo. Sus elementos básicos: centro, radios, diámetro, cuerda, tangente.
• Cuerpos geométricos: elementos, relaciones y clasificación.
• Poliedros, tipos de poliedros, y sus elementos básicos: vértices, caras y aristas.
• Cuerpos redondos: cono, cilindro y esfera.
• Regularidades y simetrías.

Criterios de evaluación:

• Utilizar las nociones geométricas de paralelismo, perpendicularidad, simetría, geometría, perímetro y superficie. para describir y comprender situaciones de la vida cotidiana.
• Conocer las figuras planas: cuadrado, rectángulo, romboide, triángulo, trapecio y rombo.
• Comprender el método de calcular el área de un paralelogramo, triángulo, trapecio y rombo.
• Utilizar las propiedades de las figuras planas para resolver problemas.
• Conocer las características y aplicarlas para clasificar poliedros, prismas, pirámides, cuerpos redondos como conos, cilindros, esferas y sus elementos básicos.
• Interpretar representaciones espaciales realizadas a partir de sistemas de referencia y de objetos o situaciones familiares.
• Identificar, resolver problemas de la vida cotidiana, adecuados a su nivel, estableciendo conexiones entre la realidad y las matemáticas, y valorando la utilidad de los conocimientos matemáticos adecuados y reflexionando sobre el proceso aplicado para la resolución de problemas.

Estándares de aprendizaje:

• Identifica y representa posiciones relativas de rectas y circunferencias.
• Identifica y representa ángulos en diferentes posiciones: consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice...
• Clasifica triángulos atendiendo a sus lados y sus ángulos. Identificando las relaciones entre sus lados y sus ángulos.
• Calcula el área, el perímetro de: rectángulo, cuadrado y triángulo.
• Identifica y diferencia los elementos básicos de circunferencia y círculo: centro, radios, diámetro, cuerda, tangente y sector circular.
• Calcula perímetro y área de la circunferencia y del círculo.
• Utiliza la composición y la descomposición para formar figuras planas y cuerpos geométricos a partir de otras.
• Identifica y nombre polígonos atendiendo a sus números de lados.

Competencias clave:

• Matemática
• Lingüística
• Agilidad mental
• Aprender a aprender 

Metodología:

Mediante esta actividad realizada con un vídeo, pretendemos que los alumnos desarrollen su capacidad visual y espacial, entre otras.

Queremos conseguir que sean capaces, tanto de recrear figuras a partir de una imagen, como de recrearlas por ellos mismo sin haber visto esa figura anteriormente.

En este caso, nuestra actividad está hecha a cámara rápida, de modo que a los alumnos se les enseñará la figura montada y ellos deberán recrearla, teniendo la posibilidad de que posteriormente revisen el proceso de cómo construirla con los pasos de nuestro vídeo.

Esto deberán hacerlos con todas las figuras propuestas.

ACTIVIDAD 1:

VIDEO

ACTIVIDAD 2:

FICHA DE GEOMETRÍA

1.- ¿Cuántos lados tiene un triángulo?

Si todos los lados son iguales, ¿cómo se denomina?

Y si un ángulo es con diferencia más grande que los otros dos, ¿cómo se llama?

2.- Contesta verdadero o falso justificando las respuestas:

1. El trapecio es el paralelogramo que sólo tiene dos lados opuesto paralelos.
2. Tres puntos no colineales se dice que determinan un plano.
3. Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común se dice que son secantes.

4. Dos ángulos que tienen un lado común y cuyos interiores no se solapan se dice que son adyacentes.
5. Una figura se dice que es cóncava, si y solo si, contiene el segmento PQ para cada par de puntos P y Q contenidos en la figura.

3.- Señala las partes de la circunferencia. 

RESPUESTAS:

1.- ¿Cuántos lados tiene un triángulo? 3 lados.

Si todos los lados son iguales, ¿cómo se denomina? Triángulo equilátero.

Y si un ángulo es con diferencia más grande que los otros dos, ¿cómo se llama?

Triángulo obtusángulo.

2.- Contesta verdadero o falso justificando las respuestas:

1. El trapecio es el paralelogramo que sólo tiene dos lados opuesto paralelos. VERDADERO
2. Tres puntos no colineales se dice que determinan un plano. FALSO, determinan un ángulo.
3. Dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común se dice que son secantes. FALSO, son paralelas.

3. Dos ángulos que tienen un lado común y cuyos interiores no se solapan se dice que son adyacentes. VERDADERO.

5. Una figura se dice que es cóncava, si y sólo si, contiene el segmento PQ para cada par de puntos P y Q contenidos en la figura. FALSO, es convexa.

3.- Señala las partes de la circunferencia:

VIDEO SOBRE VAN HIELE

ACTIVIDAD 3:

ACTIVIDAD 4:

Señala y calcula, cuál es el perímetro de las siguientes figuras:

1)

A)18  B) 24  C) 12  D) 9

2)

                A) 13  B) 15  C) 10  D) 5

3)

                  

         A) 8  B) 5  C) 7  D) 6

RESPUESTAS:

1) P=18cm

2) P=13cm

3) P=7cm

PAPIROFLEXIA

Además de todo esto, también os mostramos unas ideas geniales para hacer animales mediante la papiroflexia. De este modo, a parte de que los niños desarrollarán al máximo su creatividad, serán participes de su propio desarrollo en la geometría, ya que estarán constantemente consiguiente formas geométricas.

Estos trabajos con papel son muy divertidos y variados, a la vez que divierten y ayudan a desarrollar las capacidades cerebrales de quienes lo realizan.

Un ejemplo para sacar provecho a este método, sería utilizarlo para la enseñanza de distintos polígonos, en este caso, los triángulos. Sus vértices y lados iguales o desiguales, nos ayudarán bastante a la hora de realizar dobleces, de modo que los niños irán comprendiendo su uso.

Sucesivamente, podremos repetir los procesos realizando formas animadas como animales, donde se formen rombos y cuadrados entre otros polígonos.

Así, se le darán indicaciones de los diferentes polígonos que deberán ir formando hasta llegar al resultado de una forma o figura final. (Para ello, previamente, deberemos haber explicado y repasado las diferentes formas geométricas que podeos encontrar, con sus diversas características).

Entre otros de sus objetivos podemos encontrar los siguientes: aumentar la coordinación y concentración, desarrollar la concentración visual y mental, aumentar la destreza y habilidad manual, ayudar en la comprensión de relaciones espaciales ( atrás, delante, arriba, abajo..), el reforzamiento de la atención y la memoria, contribuir al pensamiento lógico- matemático, y despertar la sensibilidad artística de los niños, ya que muchas veces lo pasamos por alto y no nos damos cuenta.

¡Aquí van las ideas más sencillas y divertidas que hemos encontrado, además de otras muchas que podéis encontrar en internet!.

ACTIVIDAD 5

• 
  ¿Cuántos triángulos hay en total en la estrella grande? ¿Y en la pequeña?

Suma todos los triángulos de las dos estrellas y calcula cuántos hay en total.

RESPUESTA

• La estrella grande tiene 8 triángulos, y la estrella pequeña también. Si sumamos ambos triángulos tendremos un total de 16.
  
  
  
  
  
  
  ACTIVIDAD 6: KAHOOT 
  
  
  
  https://play.kahoot.it/#/?quizId=e6c9b4ba-e3c6-4a25-9de7-85fd2187fc9e